Något som också är ganska unikt för detta trick är att det inte alltid fungerar! Det här kan tyckas vara en svaghet, men enligt mig gör det bara tricket än mer spännande! Det ska också sägas att även om tricket inte alltid fungerar, så är det konstruerat på ett sätt som gör att det fungerar väldigt ofta. Varför det är så kan också vara spännande att grotta ner sig i tillsammans med sin klass, men det är inte alls nödvändigt för att få behållning av tricket. Meeen, nu har jag hypeat upp det här tillräckligt – det är dags att med ett exempel visa hur det går till och därefter förklara hur det fungerar.

Här har du två val, antingen kan du läsa vidare om tricket nedan, eller så kan du klicka här för att höra mig göra tricket “live”, och därefter få en muntlig förklaring om hur det går till.

Exempel

Maria ber Johan att dolt multiplicera sju ensiffriga tal större än ett på sin miniräknare. Johan multiplicerar sju, tre, åtta, sju, fyra, två, sex och får svaret 56448. Därefter får Johan som instruktion att läsa upp siffrorna i svaret från vänster, men utelämna en av dem. Johan utelämnar åttan och läser följaktligen upp: ”fem, sex, fyra, fyra”. Maria lyssnar och är därefter tyst en kort stund innan hon lite kryptiskt svarar: ”Min farmor bor på Ahlgatan 64, men det är inte 64 du söker, utan snarare det tal som multiplicerat med sig själv är 64. Du utelämnade 8”. Häpet frågar Johan hur Maria kunde veta – han fick ju välja allting helt själv och på egen hand göra alla beräkningar! Johan blir misstänksam och undrar: Var det bara ren bonntur?

Så, hur gick det här till? I exemplet är det faktiskt så att Maria hade lite tur, men inte så som Johan misstänker – att hon slumpmässigt valt siffra och lyckats välja rätt. Nej, turen infann sig snarare vid Johans val av tal att multiplicera, då de resulterade i att svaret kan skrivas som 9 · ”ett heltal”. I just detta fall har vi att 56448 = 9 · 6272. Men varför är detta viktigt? Och kan Maria hålla koll på om svaret kan skrivas som 9 · ”ett heltal” när hon inte ens känner till vilka tal det är som multipliceras? Vi börjar med att svara på frågan gällande varför det är viktigt. Det är viktigt för att alla tal som kan skrivas som 9 · ”ett heltal”, också har ett svar vars siffersumma är ett tal i 9:ans multiplikationstabell. Vi tittar på några exempel:

9 · 5 = 45, och siffersumman av 45 är 4 + 5 = 9

9 · 11 = 99, och siffersumman av 99 är 9 + 9 = 18

9 · 6272 = 56448, och siffersumman av 56448 är 5 + 6 + 4 + 4 + 8 = 27

Alltså, oavsett vilket heltal du multiplicerar med 9, kommer siffersumman av svaret bli ett tal i 9:ans gångertabell – det är ganska häftigt!

Lägg dock också märke till att även vissa tal som skapats utan att multiplicera med 9 kan skrivas som 9 · ”ett heltal”. Ett exempel på detta är talet 36.

6 · 6 = 36, men det gäller också att 9 · 4 = 36.

Vi kan inse detta genom att skriva 6 = 3 · 2, och då är alltså 6 · 6 = (3 · 2) · (3 · 2). Multiplicerar vi här ihop 3:orna med varandra, och 2:orna med varandra i höger led får vi 6 · 6 = 9 · 4. Nian i detta sammanhang kom alltså från att det fanns två stycken treor med, som kunde multipliceras ihop.

Men vad är då detta bra för?

Innan vi kan gå in på det måste vi besvara den andra frågan som ställdes ovan: Hur tusan ska vi veta om svaret vid multiplikationen kan skrivas som 9 · ”ett heltal”? Svaret är, det vet vi inte säkert, men vi gör ett antagande om att det kommer gå att skriva svaret som 9 · ”ett heltal”. För att förklara vad allt detta ska vara bra för och hur det hänger ihop tänker jag att vi tittar på det ursprungliga exemplet igen, men nu utifrån Marias perspektiv.

Maria har ingen vetskap om vilka faktorer Johan har valt, men förutsätter trots det att hans svar kan skrivas som 9 · ”ett heltal”. När Johan läser upp ”fem, sex, fyra, fyra” gör Maria lite snabb addition i huvudet och får siffersumman av nämnda tal till 19. Därefter väljer hon det ensiffriga tal som gör att siffersumman blir ett tal i nians multiplikationstabell. Eftersom 19+8=27, väljer Maria talet 8. För att förvilla Johan lite ytterligare drar hon en sidohistoria om talet (Ahlgatan 64), innan hon slutligen avslöjar att det är en åtta som Johan utelämnat.

Som du ser kan tricket vara relativt enkelt och rättframt att genomföra – och de flesta kan algoritmiskt lära sig grunderna för det snabbt. För att få en djupare förståelse av trickets styrkor och svagheter är det dock värt att reflektera kring följande frågor:

1. Hur ofta har Maria tur med valen av tal som multipliceras?
2. Är det nödvändigt att Johan multiplicerar just sju tal för att det ska fungera?
3. Spelar det någon roll i vilken ordning Johan läser upp svarets siffror?
4. Vad händer om svaret innehåller en nia eller en nolla, och Johan väljer att utelämna någon av dessa två siffror?
   

Punkt 1
I praktiken är det svårt att uppskatta hur stor andel av gångerna som Maria kommer att ha tur med talen som multipliceras, men utifrån de cirka 500 gånger jag genomfört tricket, har jag i cirka 95% av fallen haft tur kring detta. Denna relativt höga andel beror nog huvudsakligen på att personen som utsätts för tricket ombeds välja ett relativt stort antal tal. Sannolikheten för att en nia (eller två tre treor på annat vis) inkluderas då svaret beräknas ökar nog – till en viss gräns i alla fall – med ett större antal tal som multipliceras. Det är också bra att känna till att om Maria använder den strategi som beskrivits men inte har tur med talen som multipliceras, då kommer hon att gissa fel.

Punkt 2
Att det är just sju tal som multipliceras är inte nödvändigt för att tricket ska fungera. Men sju verkar vara tillräckligt många för att det oftast ska fungera.

Punkt 3
I och med att det enda Maria gör med siffrorna som Johan läser upp är att addera dessa för att beräkna siffersumman, spelar det ingen roll i vilken ordning Johan läser upp dem.

Punkt 4
Låt säga att Johan som tal att multiplicera istället hade valt: tre, tre, tre, tre, nio, nio, nio. Då hade han erhållit svaret 59049. Om Johan då väljer att utelämna en nia hade han läst upp: fem, noll, fyra, nio. Här är siffersumman 18, alltså ett tal som redan är i 9:ans multiplikationstabell. Det här är problematiskt för den som gör tricket, för nu finns det alltså två olika ensiffriga tal som kan adderas för att hamna på ett tal i 9:ans gångertabell – nämligen noll (då får Maria 18) och nio (då får Maria 27). Här kan Maria inte vara säker på vilken siffra som har utelämnats utan får helt enkelt gissa. Min erfarenhet är att när en nolla finns med är människor i allmänhet betydligt mer benägna att utelämna en nolla än en nia, därför blir en nolla oftast min gissning. Skulle jag med noll ha fel brukar jag säga något i stil med ”Jag vet, och det är inte ettan, tvåan, trean ... heller, utan du har utelämnat en nia”.

Erfarenheter av tricket i klassrumsmiljö

Jag har genomfört detta trick i cirka 15 olika klasser, från åk 5 upp till och med åk 9. Min upplevelse är att varje gång så har tricket ansetts vara häftigt och spännande, och eleverna har känts mycket taggade på att lära sig det. Jag tror även att tricket kan uppskattas i åk 4, och definitivt i gymnasiet.  

Hur jag typiskt brukar presentera och arbeta med tricket i en klassrumsmiljö följer i stort strukturen av denna text. I punktform kan det översättas till följande steg:

• Låt klassen veta att du ska göra ett mattetrick, men nämn också om du vill att det finns en liten risk att det kommer misslyckas.
• Fråga efter en eller två elever som kan komma upp “på scen” och hjälpa dig. Se till att det finns en miniräknare till hands. Om det är två elever, då kan en sköta miniräknaren och en hålla koll på hur många tal de multiplicerat ihop.
• Genomför tricket på eleverna.
• Förklara tricket, exempelvis genom att följa strukturen i denna text.
• Dela ut miniräknare till klassen och låt eleverna göra tricket på varandra.
• Återkoppla i slutet kring hur det har gått och vad som kan vara bra att tänka på när tricket genomförs.

Avslutningsvis vill jag också nämna att detta trick är inspirerat från ett mycket liknande som Benjamin Arthur skrivit om i sin bok Secrets of Mental Math: The Mathemagician's Guide to Lightning Calculation and Amazing Math Tricks. Det är en jättebra bok som jag verkligen kan rekommendera till de som tycker att det är kul med huvudräkning!

Lycka till!

/Björn Runow

‍

‍

‍